最小二乗法＆グラフ作成ツール

最小二乗法とは

最小二乗法（least squares method）は、測定で得られた複数の点 (x₁, y₁), (x₂, y₂), … に対して、各点との「ずれ（残差）」の二乗和が最小になる直線y = ax + b を求める手法です。理系のレポートで実験データから傾きや切片を読み取る際の、 最も標準的な直線あてはめの方法です。このツールは、Excel などからコピーしたデータを貼り付けるだけで、 傾き a・切片 b・それぞれの標準誤差・散布図・近似直線、そして LaTeX の表コードまでを自動で出力します。

使い方（3ステップ）

1. Excel やスプレッドシートで x 列・y 列を選択してコピーし、入力欄に貼り付けます（タブ・カンマ・空白区切りを自動判定）。
2. 必要なら有効数字の桁数を指定します（空欄なら4桁）。
3. 「計算してグラフを描画」を押すと、近似式・グラフ・LaTeX 表が表示されます。

1行目に系列名（凡例）を書いておくと自動でラベルとして認識します。複数の x,y ペアを横に並べれば、 複数系列をまとめて処理できます。誤差列を含めればエラーバー付きの散布図になります。

計算の中身（数式）

残差平方和 S = Σ(yᵢ − (a·xᵢ + b))² を最小にする a, b は、∂S/∂a = 0、∂S/∂b = 0 から得られる 正規方程式を解いて次式で求まります。

• 傾き：a = ( nΣxy − Σx·Σy ) / ( nΣx² − (Σx)² )
• 切片：b = ( Σy − a·Σx ) / n

ここで n はデータ点数です。標準誤差は残差の分散 σ² = Σ(yᵢ − ŷᵢ)² / (n − 2) から算出され、 n が 2 以下だと自由度が足りず誤差を定義できないため、本ツールでは n ≥ 3 のときのみ標準誤差を表示します。

計算例

例えば (1, 2.1), (2, 3.9), (3, 6.2), (4, 7.8) を入力すると、a ≈ 1.93、b ≈ 0.15 が得られ、 y ≈ 1.93x + 0.15 という近似直線が引けます。オームの法則（V = RI）から抵抗 R を求める、 ばね定数を荷重–伸びの傾きから求める、といった実験で頻出のパターンです。