標準偏差と標準誤差の違い｜実験レポートでどちらを使うか

先に結論

	標準偏差 $s$	標準誤差 $s/\sqrt{n}$
何を表すか	1回1回の測定値のばらつき	平均値の不確かさ
測定回数を増やすと	ほとんど変わらない	小さくなる
使う場面	測定のばらつきそのものを示すとき	「平均 ± 誤差」で結果を報告するとき

実験レポートで「測定値は $10.16 \pm 0.07\ \mathrm{mm}$ 」のように結果を報告するときは、標準誤差を使うのが基本です。

両者はよく混同されますが、答えている問いが違います。標準偏差は「次にもう1回測ったら、どれくらいずれそうか」、標準誤差は「いま求めた平均値は、本当の値からどれくらいずれていそうか」です。

標準偏差とは

$n$ 回の測定値 $x_1, x_2, \dots, x_n$ と、その平均 $\bar{x}$ から次のように求めます。

$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}$

$n$ ではなく $n-1$ で割るのは、平均 $\bar{x}$ 自体をデータから求めたぶん、ばらつきが少し小さく見積もられてしまうのを補正するためです。こうして求めた $s$ を不偏標準偏差と呼びます。実験データには通常こちらを使います。

標準誤差とは

平均値の不確かさは、標準偏差を $\sqrt{n}$ で割って求めます。

$s_{\bar{x}} = \frac{s}{\sqrt{n}}$

$\sqrt{n}$ で割るのは、何回も測って平均を取ると、測定ごとの偶然のずれが打ち消し合うためです。考え方は誤差伝播と同じで、 $n$ 個の値の平均に誤差伝播の式を当てはめるとこの形になります。

計算例：棒の長さを15回測った

ノギスで同じ棒の長さを15回測りました。

10.2  10.5  9.8  10.1  10.4
 9.9  10.3  10.0 10.6   9.7
10.2  10.1  10.4  9.9  10.3   （単位 mm）

計算すると次のようになります。

量	値
測定回数 $n$	15
平均 $\bar{x}$	10.160 mm
標準偏差 $s$	0.264 mm
標準誤差 $s/\sqrt{n}$	0.068 mm

レポートに書くときは、誤差を1〜2桁に丸め、平均の末位をそれにそろえます（詳しくは有効数字の扱い方）。

$L = 10.16 \pm 0.07\ \mathrm{mm}\quad(\text{平均} \pm \text{標準誤差},\ n = 15)$

どちらの誤差を使ったか、何回測ったかを必ず添えてください。 $\pm 0.07$ だけでは、読む人は標準偏差なのか標準誤差なのか判断できません。

測定回数を増やすと何が変わるか

同じデータの最初の5個だけで計算した場合と比べます。

	$n = 5$	$n = 15$
標準偏差 $s$	0.274 mm	0.264 mm
標準誤差 $s/\sqrt{n}$	0.122 mm	0.068 mm

標準偏差はほとんど変わりません。ノギスの読み取りや棒の当て方によるばらつきは、何回測っても同じだけあるからです。

一方、標準誤差は小さくなります。 $\sqrt{n}$ に反比例するので、測定回数を4倍にすると、平均値の誤差はちょうど半分になります。逆に言えば、誤差を半分にするには4倍の手間がかかります。精度を上げたいときに「回数を増やす」より「測定方法を改善して $s$ を小さくする」ほうが効く場合が多いのはこのためです。

信頼区間との関係

「真の値がこの範囲に95%の確率で入る」と言いたい場合は、標準誤差に係数をかけて95%信頼区間にします。測定回数が少ないときは、正規分布の1.96ではなく $t$ 分布の値を使います。

$n = 15$ のとき、自由度14の $t$ 値は $2.14$ なので、

$10.160 \pm 2.14 \times 0.068 = 10.160 \pm 0.146\ \mathrm{mm}$

となり、95%信頼区間は $10.01 \sim 10.31\ \mathrm{mm}$ です。

学生実験では「平均 ± 標準誤差」で十分なことがほとんどです。理論値と比べて「誤差の範囲で一致した」と主張したい場合に、信頼区間まで示すと説得力が増します。

Excel での求め方

求めたいもの	Excel の関数
平均	`=AVERAGE(A1:A15)`
標準偏差（不偏）	`=STDEV.S(A1:A15)`
標準誤差	`=STDEV.S(A1:A15)/SQRT(COUNT(A1:A15))`

STDEV.P と取り違えないよう注意してください。 STDEV.P は $n$ で割る母集団の標準偏差で、「データが全数そろっている」場合のものです。実験の測定値はたまたま得られた一部（標本）なので、STDEV.S を使います。上の例では STDEV.P だと $0.255$ になり、少し小さく出ます。

標準誤差を一発で返す関数はExcelにありません。SQRT(COUNT(...)) で割るのを忘れて、標準偏差を「誤差」として書いてしまう間違いがよくあります。

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よくある間違い

1. 標準偏差を「平均の誤差」として書く

平均値の不確かさを $\sqrt{n}$ 倍も大きく報告することになります。15回測った例なら約3.9倍です。

2. どちらを使ったか書かない

グラフのエラーバーも同じです。図のキャプションに「エラーバーは標準誤差を示す（ $n = 5$ ）」のように明記してください。書き方はグラフの体裁ガイドにまとめています。

3. 測定回数が2〜3回なのに標準誤差を信じすぎる

$n$ が小さいと、標準偏差そのものの見積もりが不安定です。3回測ってたまたま値がそろうと、誤差が非常に小さく出てしまいます。測定器の目盛りから決まる誤差（読み取り誤差）と比べ、大きいほうを採用するのが安全です。

4. 系統誤差を標準誤差で表そうとする

標準誤差が小さくなるのは偶然のずれが打ち消し合うからです。ゼロ点のずれのような系統誤差は、何回測っても打ち消し合わず、標準誤差には現れません。

まとめ

標準偏差は1回ごとの測定のばらつき、標準誤差は平均値の不確かさ
レポートで「平均 ± 誤差」と書くときは標準誤差。どちらを使ったかと $n$ を必ず添える
測定回数を4倍にすると標準誤差は半分。標準偏差はほとんど変わらない
Excel では STDEV.S を使う。標準誤差は STDEV.S(...)/SQRT(COUNT(...))

エラーバーとしてグラフに描く方法はExcelでエラーバーを付ける方法で解説しています。